Действия с простыми дробями. Сложение дробей с целыми числами и разными знаменателями. Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

В 5 классе средней школы вводится представление дроби. Дробь – это число, состоящее из целого числа долей единиц. Обычные дроби записываются в виде ±m/n, число m называют числителем дроби, число n – его знаменателем. Если модуль знаменателя огромнее модуля числителя, скажем 3/4, то дробь именуется верной, в отвратном случае – неправильной. Дробь может содержать целую часть, скажем 5 * (2/3).К дробям дозволено использовать разные арифметические операции.

Инструкция

1. Приведение к всеобщему знаменателю.Пускай даны дроби a/b и c/d.- В первую очередь находится число НОК(наименьшее всеобщее кратное) для знаменателей дробей.- Числитель и знаменатель первой дроби умножается на НОК/b- Числитель и знаменатель 2-й дроби умножается на НОК/dПример приведён на рисунке.Для сопоставления дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, после этого сравнить числители. Скажем, 3/4 < 4/5, см. рисунок.

2. Сложение и вычитание дробей.Для нахождения суммы 2-х обычных дробей их нужно привести к всеобщему знаменателю, позже чего сложить числители, оставив знаменатель без изменений. Пример сложения дробей 1/2 и 1/3 приведён на рисунке.Разность дробей находится аналогичным образом, позже нахождения всеобщего знаменателя, числители дробей вычитаются, см. пример на рисунке.

3. Умножение и деление дробей.При умножении обычных дробей, числители и знаменатели перемножаются между собой.Для того, дабы поделить две дроби, нужно получить дробь обратную 2-й дроби, т.е. поменять его числитель и знаменатель местами, позже чего произвести умножение полученных дробей.

Модуль представляет собой безусловную величину выражения. Для обозначения модуля используют прямые скобки. Арестанты в них значения считаются взятыми по модулю. Решение модуля состоит в раскрытии модульных скобок по определенным правилам и нахождении множества значений выражения. В большинстве случаев модуль раскрывается таким образом, что подмодульное выражение получает ряд позитивных и негативных значений с том числе и нулевое значение. Исходя из данных свойств модуля, составляются и решаются дальше уравнения и неравенства начального выражения.

Инструкция

1. Запишите начальное уравнение с модулем. Для его решения раскройте модуль. Разглядите всякое подмодульное выражение. Определите, при каком значении входящих в него незнакомых величин выражение в модульных скобках обращается в нуль.

2. Для этого приравняйте подмодульное выражение к нулю и обнаружьте решение получившегося уравнения. Запишите обнаруженные значения. Таким же образом определите значения незнакомой переменной для всего модуля в заданном уравнении.

3. Разглядите случаи существования переменных, когда они хороши от нуля. Для этого запишите систему неравенств для всех модулей начального уравнения. Неравенства обязаны охватывать все допустимые значения переменной на числовой прямой.

4. Нарисуйте числовую прямую и отложите на ней полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.

5. В начальном уравнении надобно раскрыть модульные скобки, меняя знак выражения так, дабы значения переменной соответствовали отображенным на числовой прямой. Решите полученное уравнение. Обнаруженное значение переменной проверьте на лимитация, заданное модулем. Если решение удовлетворяет условию, значит оно правдиво. Не удовлетворяющие ограничениям корни обязаны отбрасываться.

6. Аналогичным образом раскрывайте модули начального выражения с учетом знака и высчитывайте корни получаемого уравнения. Запишите все полученные корни, удовлетворяющие неравенствам ограничения.

Дробные числа разрешают выражать в различном виде точное значение величины. С дробями дозволено исполнять те же математические операции, что и с целыми числами: вычитание, сложение, умножение и деление. Дабы обучиться решать дроби , нужно помнить о некоторых их особенностях. Они зависят от вида дроби , наличия целой части, всеобщего знаменателя. Некоторые арифметические действия позже выполнения требуют сокращения дробной части итога.

Вам понадобится

– калькулятор

Инструкция

1. Наблюдательно посмотрите на данные числа. Если среди дробей есть десятичные и непрвильные, изредка комфортнее сначала исполнить действия с десятичными, а после этого перевести их в неверный вид. Можете перевести дроби в такой вид первоначально, записав значение позже запятой в числитель и поставив 10 в знаменатель. При необходимости сократите дробь, поделив числа выше и ниже черты на один делитель. Дроби, в которых выдается целая часть, приведите к неправильному виду, умножив её на знаменатель и прибавив к итогу числитель. Данное значения станет новым числителем дроби . Дабы выделить целую часть из изначально неправильной дроби , нужно поделить числитель на знаменатель. Целый итог записать слева от дроби . А остаток от деления станет новым числителем, знаменатель дроби при этом не меняется. Для дробей с целой частью допустимо выполнение действий отдельно вначале для целой, а после этого для дробной частей. Скажем, сумма 1 2/3 и 2 ? может быть вычислена двумя методами:- Переведение дробей в неверный вид:- 1 2/3 + 2 ? = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;- Суммирование отдельно целых и дробных частей слагаемых:- 1 2/3 + 2 ? = (1+2) + (2/3 + ?) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5/12.

2. Для неправильных дробей с различными значениями под чертой обнаружьте всеобщий знаменатель. Скажем, для 5/9 и 7/12 всеобщим знаменателем будет 36. Для этого числитель и знаменатель первой дроби нужно умножить на 4 (получится 28/36), а 2-й – на 3 (получится 15/36). Сейчас можете исполнить нужные расчёты.

3. Если вы собираетесь вычислять сумму либо разность дробей, для начала запишите обнаруженный всеобщий знаменатель под черту. Исполните нужные действия между числителями, а итог запишите над чертой новой дроби . Таким образом, новым числителем станет разность либо сумма числителей изначальных дробей.

4. Для расчёта произведения дробей перемножьте числители дробей и запишите итог на место числителя итоговой дроби . То же самое проделайте для знаменателей. При делении одной дроби на иную запишите одну дробь, а после этого умножьте её числитель на знаменатель 2-й. При этом знаменатель первой дроби умножается соответственно на числитель 2-й. При этом происходит оригинальный переворот 2-й дроби (делителя). Итоговая дробь будет состоять из итогов умножения числителей и знаменателей обеих дробей. Нетрудно обучиться решать дроби , записанные в условии в виде «четырёхэтажной» дроби . Если черта разделяет две дроби , перепишите их через разграничитель «:» и продолжите обыкновенное деление.

5. Для приобретения финального итога полученную дробь сократите, поделив числитель и знаменатель на одно целое число, наибольшее допустимое в данном случае. При этом выше и ниже черты обязаны быть целые числа.

Обратите внимание!
Не исполняйте арифметические действия с дробями, знаменатели которых отличаются. Подберите такое число, дабы при умножении на него числителя и знаменателя всякой дроби в итоге знаменатели обеих дробей были равны.

Полезный совет
При записи дробных чисел делимое пишется над чертой. Эта величина обозначается как числитель дроби. Под чертой записывается делитель, либо знаменатель, дроби. Скажем, полтора килограмма риса в виде дроби запишется дальнейшим образом: 1 ? кг риса. Если знаменатель дроби равен 10, такую дробь называют десятичной. При этом числитель (делимое) пишется справа от целой части через запятую: 1,5 кг риса. Для комфорта вычислений такую дробь неизменно дозволено записать в неправильном виде: 1 2/10 кг картофеля. Для облегчения дозволено сократить значения числителя и знаменателя, поделив их на одно целое число. В данном примере допустимо деление на 2. В итоге получится 1 1/5 кг картофеля. Удостоверьтесь, что числа, с которыми вы собираетесь исполнять арифметические действия, представлены в одном виде.

Если вы пишете курсовую работу либо составляете какой-нибудь иной документ, содержащий расчетную часть, то вам никуда не деться от дробных выражений, которые также надобно напечатать. Как это сделать, разглядим дальше.

Инструкция

1. Кликните один раз по пункту меню «Вставка», после этого выберите пункт «Символ». Это один из самых примитивных методов вставки дроби в текст. Заключается он в дальнейшем. В комплекте готовых символов есть дроби . Их число, как водится, невелико, но если вам в тексте необходимо написать?, а не 1/2, то для вас сходственный вариант будетсамым оптимальным. Помимо того, число символов дробей может зависеть и от шрифта. Скажем, для шрифта Times New Roman дробей немножко поменьше, чем для того же Arial. Варьируйте шрифтами, дабы обнаружить самый наилучший вариант, если дело касается примитивных выражений.

2. Кликните по пункту меню «Вставка» и выберите подпункт «Объект». Перед вами появится окно с перечнем допустимых объектов для вставки. Выберите среди них Microsoft Equation 3.0. Это приложение поможет вам печатать дроби . Причем не только дроби , но и трудные математические выражения, содержащие разные тригонометрические функции и прочие элементы. Двукратно кликните по этому объекту левой кнопкой мышки. Перед вами появится окно, содержащее много символов.

3. Дабы напечатать дробь, выберите символ изображающий дробь с пустым числителем и знаменателем. Кликните по нему один раз левой кнопкой мыши. Появится дополнительное меню, уточняющее схему самой дроби . Может быть несколько ее вариантов. Выберите особенно для вас подходящий и кликните по нему один раз левой кнопкой мыши.

4. Введите в числителе и знаменателе дроби все необходимые данные. Это будет протекать теснее непринужденно на листе документа. Дробь будет вставлена отдельным объектом, тот, что в случае необходимости дозволено переместить в всякое место документа. Вы можете напечатать многоэтажные дроби . Для этого разместите в числитель либо знаменатель (как вам надобно) еще одну дробь, которую дозволено предпочесть в окне того же приложения.

Видео по теме

Алгебраическая дробь - это выражение вида А/В, где буквы А и В обозначают всякие числовые либо буквенные выражения. Нередко числитель и знаменатель в алгебраических дробях имеют массивный вид, но действия с такими дробями следует делать по тем же правилам, что и действия с обычными, где числитель и знаменатель - целые правильные числа.

Инструкция

1. Если даны смешанные дроби , переведите их в неправильные (дробь, в которой числитель огромнее знаменателя): умножьте знаменатель на целую часть и прибавьте числитель. Так число 2 1/3 превратится в 7/3. Для этого 3 умножают на 2 и прибавляют единицу.

2. Если нужно перевести десятичную дробь в неправильную, то представьте ее как деление числа без запятой на единицу со столькими нулями, сколько чисел стоит позже запятой. Скажем, число 2,5 представьте как 25/10 (если сократить, то получится 5/2), а число 3,61 – как 361/100. Оперировать с неправильными дробями нередко легче, чем со смешанными либо десятичными.

3. Если дроби имеют идентичные знаменатели, а вам нужно их сложить, то примитивно сложите числители; знаменатели остаются без изменений.

4. При необходимости произвести вычитание дробей с идентичными знаменателями из числителя первой дроби вычтите числитель 2-й дроби. Знаменатели при этом также не меняются.

5. Если нужно сложить дроби либо вычесть одну дробь из иной, а они имеют различные знаменатели, приведите дроби к всеобщему знаменателю. Для этого обнаружьте число, которое будет наименьшим всеобщим кратным (НОК) обоим знаменателям либо нескольким, если дробей огромнее 2-х. НОК - это число, которое разделится на знаменатели всех данных дробей. К примеру, для 2 и 5 это число 10.

6. Позже знака «равно» проведите горизонтальную черту и запишите в знаменатель это число (НОК). Проставьте к всякому слагаемому добавочные множители - то число, на которое нужно домножить и числитель, и знаменатель, дабы получить НОК. Ступенчато умножайте числители на добавочные множители, сберегая знак сложения либо вычитания.

7. Посчитайте итог, сократите его при необходимости либо выделите целую часть. Для примера – нужно сложить? и?. НОК для обеих дробей - 12. Тогда добавочный множитель к первой дроби - 4, ко 2-й - 3. Итого: ?+?=(1·4+1·3)/12=7/12.

8. Если дан пример на умножение, перемножьте между собой числители (это будет числитель итога) и знаменатели (получится знаменатель итога). В этом случае к всеобщему знаменателю их приводить не нужно.

9. Дабы поделить дробь на дробь, нужно опрокинуть вторую дробь «вверх ногами» и перемножить дроби. То есть а/b: с/d = a/b · d/c.

10. Раскладывайте числитель и знаменатель на множители, если это требуется. Скажем, переносите всеобщий множитель за скобку либо раскладывайте по формулам сокращённого умножения, дабы после этого дозволено было при необходимости сократить числитель и знаменатель на НОД – минимальный всеобщий делитель.

Обратите внимание!
Числа складывайте с числами, буквы одного рода с буквами того же рода. Скажем, невозможно сложить 3a и 4b, значит в числителе так и останется их сумма либо разность - 3a±4b.

Видео по теме

Расширение дроби. Сокращение дроби. Сравнение дробей.

Приведение к общему знаменателю. Сложение и вычитание дробей.

Умножение дробей. Деление дробей.

Расширение дроби. Значение дроби не меняется, если умножить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля расширением дроби . Например,

Сокращение дроби. Значение дроби не меняется, если разделить её числитель и знаменатель на одно и то же число, отличное от нуля . Это преобразование называется сокращением дроби . Например,

Сравнение дробей. Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, знаменатель которой меньше:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, числитель которой больше:

Для сравнения дробей, у которых числители и знаменатели различны, необходимо расширить их, чтобы привести к общему знаменателю.

П р и м е р. Сравнить две дроби:

Использованное здесь преобразование называется приведением дробей к общему знаменателю .

Сложение и вычитание дробей. Если знаменатели дробей одинаковы, то для того, чтобы сложить дроби, надо сложить их числители, а для того, чтобы вычесть дроби, надо вычесть их числители (в том же порядке). Полученная сумма или разность будет числителем результата; знаменатель останется тем же. Если знаменатели дробей различны, необходимо сначала привести дроби к общему знаменателю. При сложении смешанных чисел их целые и дробные части складываются отдельно. При вычитании смешанных чисел мы рекомендуем сначала преобразовать их к виду неправильных дробей, затем вычесть из одной другую, а после этого вновь привести результат, если требуется, к виду смешанного числа.

П р и м е р .

Умножение дробей. Умножить некоторое число на дробь означает умножить его на числитель и разделить произведение на знаменатель. Следовательно, мы имеем общее правило умножения дробей: для перемножения дробей необходимо перемножить отдельно их числители и знаменатели и разделить первое произведение на второе .

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q - знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение - часть целого.

Как правило, целое - это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель - делимое, знаменатель - делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

Нахождение НОД для обеих частей дроби.
Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.

Одной из важнейших наук, применение которой можно увидеть в таких дисциплинах, как химия, физика и даже биология, является математика. Изучение этой науки позволяет развить некоторые умственные качества, улучшить и способность концентрироваться. Одна из тем, которые заслуживают отдельного внимания в курсе «Математика» - сложение и вычитание дробей. У многих учеников ее изучение вызывает затруднение. Возможно, наша статья поможет лучше понять эту тему.

Как вычесть дроби, знаменатели которых одинаковые

Дроби - это те же числа, с которыми можно производить различные действия. Их отличие от целых чисел заключается в присутствии знаменателя. Именно поэтому при выполнении действий с дробями нужно изучить некоторые их особенности и правила. Наиболее простым случаем является вычитание обыкновенных дробей, знаменатели которых представлены в виде одинакового числа. Выполнить это действие не составит особого труда, если знать простое правило:

Для того чтобы из одной дроби вычесть вторую, необходимо из числителя уменьшаемой дроби вычесть числитель вычитаемой дроби. Это число записываем в числитель разницы, а знаменатель оставляем тот же: k/m - b/m = (k-b)/m.

Примеры вычитания дробей, знаменатели которых одинаковы

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

От числителя уменьшаемой дроби «7» отнимаем числитель вычитаемой дроби «3», получаем «4». Это число мы записываем в числитель ответа, а в знаменатель ставим то же число, что было в знаменателях первой и второй дроби - «19».

На картинке ниже приведено еще несколько подобных примеров.

Рассмотрим более сложный пример, где произведено вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

От числителя уменьшаемой дроби «29» отниманием по очереди числители всех последующих дробей - «3», «8», «2», «7». В итоге получаем результат «9», который записываем в числитель ответа, а в знаменатель записываем то число, которое находится в знаменателях всех этих дробей, - «47».

Сложение дробей, имеющих одинаковый знаменатель

Сложение и вычитание обыкновенных дробей осуществляется по одному и тому же принципу.

Для того чтобы сложить дроби, знаменатели которых одинаковы, необходимо числители сложить. Полученное число - числитель суммы, а знаменатель останется тот же: k/m + b/m = (k + b)/m.

Рассмотрим, как это выглядит на примере:

1/4 + 2/4 = 3/4.

К числителю первой слагаемой дроби - «1» - добавляем числитель второй слагаемой дроби - «2». Результат - «3» - записываем в числитель суммы, а знаменатель оставляем тот же, что присутствовал в дробях, - «4».

Дроби с различными знаменателями и их вычитание

Действие с дробями, которые имеют одинаковый знаменатель, мы уже рассмотрели. Как видим, зная простые правила, решить подобные примеры достаточно легко. Но что делать, если необходимо произвести действие с дробями, которые имеют различные знаменатели? Многие учащиеся средних школ приходят в затруднение перед такими примерами. Но и здесь, если знать принцип решения, примеры уже не будут представлять для вас сложности. Здесь также существует правило, без которого решение подобных дробей просто невозможно.

Чтобы произвести вычитание дробей с разными знаменателями, необходимо их привести к одинаковому наименьшему знаменателю.

О том, как это сделать, мы поговорим подробнее.

Свойство дроби

Для того чтобы несколько дробей привести к одинаковому знаменателю, нужно использовать в решении главное свойство дроби: после деления или умножения числителя и знаменателя на одинаковое число получится дробь, равная данной.

Так, например, дробь 2/3 может иметь такие знаменатели, как «6», «9», «12» и т. д., то есть она может иметь вид любого числа, которое кратно «3». После того как числитель и знаменатель мы умножим на «2», получится дробь 4/6. После того как числитель и знаменатель исходной дроби мы умножим на «3», получим 6/9, а если аналогичное действие произвести с цифрой «4», получим 8/12. Одним равенством это можно записать так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю

Рассмотрим, как привести несколько дробей к одному и тому же знаменателю. Для примера возьмем дроби, приведенные на картинке ниже. Для начала необходимо определить, какое число может стать знаменателем для их всех. Для облегчения разложим имеющиеся знаменатели на множители.

Знаменатель дроби 1/2 и дроби 2/3 на множители разложить нельзя. Знаменатель 7/9 имеет два множителя 7/9 = 7/(3 х 3), знаменатель дроби 5/6 = 5/(2 х 3). Теперь необходимо определить, какие же множители будут наименьшими для всех этих четырех дробей. Так как в первой дроби в знаменателе имеется число «2», значит, оно должно присутствовать во всех знаменателях, в дроби 7/9 присутствуют две тройки, значит, они также обе должны присутствовать в знаменателе. Учитывая вышесказанное, определяем, что знаменатель состоит из трех множителей: 3, 2, 3 и равен 3 х 2 х 3 = 18.

Рассмотрим первую дробь - 1/2. В ее знаменателе имеется «2», но нет ни одной цифры «3», а должно быть две. Для этого мы знаменатель умножаем на две тройки, но, согласно свойству дроби, мы и числитель должны умножить на две тройки:
1/2 = (1 х 3 х 3)/(2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналогично производим действия с оставшимися дробями.

2/3 - в знаменателе не хватает одной тройки и одной двойки:
2/3 = (2 х 3 х 2)/(3 х 3 х 2) = 12/18.
7/9 или 7/(3 х 3) - в знаменателе не хватает двойки:
7/9 = (7 х 2)/(9 х 2) = 14/18.
5/6 или 5/(2 х 3) - в знаменателе не хватает тройки:
5/6 = (5 х 3)/(6 х 3) = 15/18.

Все вместе это выглядит так:

Как вычесть и сложить дроби, имеющие различные знаменатели

Как уже говорилось выше, для того чтобы произвести сложение или вычитание дробей, имеющих различные знаменатели, их необходимо привести к одному знаменателю, а дальше воспользоваться правилами вычитания дробей, имеющих одинаковый знаменатель, о котором уже рассказывалось.

Рассмотрим это на примере: 4/18 - 3/15.

Находим кратное чисел 18 и 15:

Число 18 состоит из 3 х 2 х 3.
Число 15 состоит из 5 х 3.
Общее кратное будет состоять из следующих множителей 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

После того как знаменатель будет найден, необходимо вычислить множитель, который будет отличным для каждой дроби, то есть то число, на которое необходимо будет умножить не только знаменатель, но и числитель. Для этого число, которое мы нашли (общее кратное), делим на знаменатель той дроби, у которой нужно определить дополнительные множители.

90 поделить на 15. Полученное число «6» будет множителем для 3/15.
90 поделить на 18. Полученное число «5» будет множителем для 4/18.

Следующий этап нашего решения - приведение каждой дроби к знаменателю «90».

Как это делается, мы уже говорили. Рассмотрим, как это записывается в примере:

(4 х 5)/(18 х 5) - (3 х 6)/(15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Если дроби с маленькими числами, то можно общий знаменатель определить, как в примере, приведенном на картинке ниже.

Аналогично производится и имеющих различные знаменатели.

Вычитание и имеющих целые части

Вычитание дробей и их сложение мы уже детально разобрали. Но как произвести вычитание, если у дроби есть целая часть? Опять же, воспользуемся несколькими правилами:

Все дроби, имеющие целую часть, перевести в неправильные. Говоря простыми словами, убрать целую часть. Для этого число целой части умножаем на знаменатель дроби, полученное произведение добавляем к числителю. То число, которое получится после этих действий, - числитель неправильной дроби. Знаменатель же остается неизменным.
Если дроби имеют различные знаменатели, следует привести их к одинаковому.
Произвести сложение или вычитание с одинаковыми знаменателями.
При получении неправильной дроби выделить целую часть.

Есть и иной способ, при помощи которого можно осуществить сложение и вычитание дробей с целыми частями. Для этого производятся отдельно действия с целыми частями, и отдельно действия с дробями, а результаты записываются вместе.

Приведенный пример состоит из дробей, которые имеют одинаковый знаменатель. В том случае, когда знаменатели различны, их необходимо привести к одинаковому, а далее выполнить действия, как показано на примере.

Вычитание дробей из целого числа

Еще одной из разновидностей действий с дробями является тот случай, когда дробь необходимо отнять от На первый взгляд подобный пример кажется трудно решаемым. Однако здесь все довольно просто. Для его решения необходимо перевести целое число в дробь, причем с таким знаменателем, который имеется в вычитаемой дроби. Далее производим вычитание, аналогичное вычитанию с одинаковыми знаменателями. На примере это выглядит так:

7 - 4/9 = (7 х 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Приведенное в этой статье вычитание дробей (6 класс) является основой для решения более сложных примеров, которые рассматриваются в последующих классах. Знания этой темы используются впоследствии для решения функций, производных и так далее. Поэтому очень важно разобраться и понять действия с дробями, рассматриваемые выше.

Дроби

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

Дроби в старших классах не сильно досаждают. До поры до времени. Пока не столкнётесь со степенями с рациональными показателями да логарифмами. А вот там…. Давишь, давишь калькулятор, а он все полное табло каких-то циферок кажет. Приходится головой думать, как в третьем классе.

Давайте уже разберёмся с дробями, наконец! Ну сколько можно в них путаться!? Тем более, это всё просто и логично. Итак, какие бывают дроби?

Виды дробей. Преобразования.

Дроби бывают трёх видов.

1. Обыкновенные дроби , например:

Иногда вместо горизонтальной чёрточки ставят наклонную черту: 1/2, 3/4, 19/5, ну, и так далее. Здесь мы часто будем таким написанием пользоваться. Верхнее число называется числителем , нижнее - знаменателем. Если вы постоянно путаете эти названия (бывает...), скажите себе с выражением фразу: "Ззззз апомни! Ззззз наменатель - вниззззз у!" Глядишь, всё и ззззапомнится.)

Чёрточка, что горизонтальная, что наклонная, означает деление верхнего числа (числителя) на нижнее (знаменатель). И всё! Вместо чёрточки вполне можно поставить знак деления - две точки.

Когда деление возможно нацело, это надо делать. Так, вместо дроби "32/8" гораздо приятнее написать число "4". Т.е. 32 просто поделить на 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Я уж и не говорю про дробь "4/1". Которая тоже просто "4". А если уж не делится нацело, так и оставляем, в виде дроби. Иногда приходится обратную операцию проделывать. Делать из целого числа дробь. Но об этом далее.

2. Десятичные дроби , например:

Именно в таком виде нужно будет записывать ответы на задания "В".

3. Смешанные числа , например:

Смешанные числа практически не используются в старших классах. Для того, чтобы с ними работать, их всяко надо переводить в обыкновенные дроби. Но это точно надо уметь делать! А то попадётся такое число в задачке и зависните... На пустом месте. Но мы-то вспомним эту процедуру! Чуть ниже.

Наиболее универсальны обыкновенные дроби . С них и начнём. Кстати, если в дроби стоят всякие логарифмы, синусы и прочие буковки, это ничего не меняет. В том смысле что все действия с дробными выражениями ничем не отличаются от действий с обыкновенными дробями !

Основное свойство дроби.

Итак, поехали! Для начала я вас удивлю. Всё многообразие преобразований дробей обеспечивается одним-единственным свойством! Оно так и называется, основное свойство дроби . Запоминайте: если числитель и знаменатель дроби умножить (разделить) на одно и то же число, дробь не изменится. Т.е:

Понятно, что писать можно дальше, до посинения. Синусы и логарифмы пусть вас не смущают, с ними дальше разберёмся. Главное понять, что все эти разнообразные выражения есть одна и та же дробь . 2/3.

А оно нам надо, все эти превращения? Ещё как! Сейчас сами увидите. Для начала употребим основное свойство дроби для сокращения дробей . Казалось бы, вещь элементарная. Делим числитель и знаменатель на одно и то же число и все дела! Ошибиться невозможно! Но... человек - существо творческое. Ошибиться везде может! Особенно, если приходится сокращать не дробь типа 5/10, а дробное выражение со всякими буковками.

Как правильно и быстро сокращать дроби, не делая лишней работы, можно прочитать в особом Разделе 555 .

Нормальный ученик не заморачивается делением числителя и знаменателя на одно и то же число (или выражение)! Он просто зачеркивает всё одинаковое сверху и снизу! Здесь-то и таится типичная ошибка, ляп, если хотите.

Например, надо упростить выражение:

Тут и думать нечего, зачеркиваем букву "а" сверху и двойку снизу! Получаем:

Все правильно. Но реально вы поделили весь числитель и весь знаменатель на "а". Если вы привыкли просто зачеркивать, то, впопыхах, можете зачеркнуть "а" в выражении

и получить снова

Что будет категорически неверно. Потому что здесь весь числитель на "а" уже не делится ! Эту дробь сократить нельзя. Кстати, такое сокращение – это, гм… серьезный вызов преподавателю. Такого не прощают! Запомнили? При сокращении делить надо весь числитель и весь знаменатель!

Сокращение дробей сильно облегчает жизнь. Получится где-нибудь у вас дробь, к примеру 375/1000. И как теперь с ней дальше работать? Без калькулятора? Умножать, скажем, складывать, в квадрат возводить!? А если не полениться, да аккуратненько сократить на пять, да ещё на пять, да ещё... пока сокращается, короче. Получим 3/8! Куда приятнее, правда?

Основное свойство дроби позволяет переводить обыкновенные дроби в десятичные и наоборот без калькулятора ! Это важно на ЕГЭ, верно?

Как переводить дроби из одного вида в другой.

С десятичными дробями всё просто. Как слышится, так и пишется! Скажем, 0,25. Это ноль целых, двадцать пять сотых. Так и пишем: 25/100. Сокращаем (делим числитель и знаменатель на 25), получаем обычную дробь: 1/4. Всё. Бывает, и не сокращается ничего. Типа 0,3. Это три десятых, т.е. 3/10.

А если целых - не ноль? Ничего страшного. Записываем всю дробь без всяких запятых в числитель, а в знаменатель - то, что слышится. Например: 3,17. Это три целых, семнадцать сотых. Пишем в числитель 317, а в знаменатель 100. Получаем 317/100. Ничего не сокращается, значит всё. Это ответ. Элементарно, Ватсон! Из всего сказанного полезный вывод: любую десятичную дробь можно превратить в обыкновенную .

А вот обратное преобразование, обыкновенной в десятичную, некоторые без калькулятора не могут сделать. А надо! Как вы ответ записывать будете на ЕГЭ!? Внимательно читаем и осваиваем этот процесс.

Десятичная дробь чем характерна? У неё в знаменателе всегда стоит 10, или 100, или 1000, или 10000 и так далее. Если ваша обычная дробь имеет такой знаменатель, проблем нет. Например, 4/10 = 0,4. Или 7/100 = 0,07. Или 12/10 = 1,2. А если в ответе на задание раздела "В" получилось 1/2? Что в ответ писать будем? Там десятичные требуются...

Вспоминаем основное свойство дроби ! Математика благосклонно позволяет умножать числитель и знаменатель на одно и то же число. На любое, между прочим! Кроме нуля, разумеется. Вот и применим это свойство себе на пользу! На что можно умножить знаменатель, т.е. 2 чтобы он стал 10, или 100, или 1000 (поменьше лучше, конечно...)? На 5, очевидно. Смело умножаем знаменатель (это нам надо) на 5. Но, тогда и числитель надо умножить тоже на 5. Это уже математика требует! Получим 1/2 = 1х5/2х5 = 5/10 = 0,5. Вот и всё.

Однако, знаменатели всякие попадаются. Попадётся, например дробь 3/16. Попробуй, сообрази тут, на что 16 умножить, чтоб 100 получилось, или 1000... Не получается? Тогда можно просто разделить 3 на 16. За отсутствием калькулятора делить придётся уголком, на бумажке, как в младших классах учили. Получим 0,1875.

А бывают и совсем скверные знаменатели. Например, дробь 1/3 ну никак не превратишь в хорошую десятичную. И на калькуляторе, и на бумажке, мы получим 0,3333333... Это значит, что 1/3 в точную десятичную дробь не переводится . Так же, как и 1/7, 5/6 и так далее. Много их, непереводимых. Отсюда ещё один полезный вывод. Не каждая обыкновенная дробь переводится в десятичную !

Кстати, это полезная информация для самопроверки. В разделе "В" в ответ надо десятичную дробь записывать. А у вас получилось, например, 4/3. Эта дробь не переводится в десятичную. Это означает, что где-то вы ошиблись по дороге! Вернитесь, проверьте решение.

Итак, с обыкновенными и десятичными дробями разобрались. Осталось разобраться со смешанными числами. Для работы с ними их всяко нужно перевести в обыкновенные дроби. Как это сделать? Можно поймать шестиклассника и спросить у него. Но не всегда шестиклассник окажется под руками... Придётся самим. Это несложно. Надо знаменатель дробной части умножить на целую часть и прибавить числитель дробной части. Это будет числитель обычной дроби. А знаменатель? Знаменатель останется тем же самым. Звучит сложно, но на деле всё элементарно. Смотрим пример.

Пусть в задачке вы с ужасом увидели число:

Спокойно, без паники соображаем. Целая часть - это 1. Единица. Дробная часть - 3/7. Стало быть, знаменатель дробной части - 7. Этот знаменатель и будет знаменателем обыкновенной дроби. Считаем числитель. 7 умножаем на 1 (целая часть) и прибавляем 3 (числитель дробной части). Получим 10. Это будет числитель обыкновенной дроби. Вот и всё. Еще проще это выглядит в математической записи:

Ясненько? Тогда закрепите успех! Переведите в обыкновенные дроби. У вас должно получится 10/7, 7/2, 23/10 и 21/4.

Обратная операция - перевод неправильной дроби в смешанное число - в старших классах редко требуется. Ну если уж... И если Вы - не в старших классах - можете заглянуть в особый Раздел 555 . Там же, кстати, и про неправильные дроби узнаете.

Ну вот, практически и всё. Вы вспомнили виды дробей и поняли, как переводить их из одного вида в другой. Остаётся вопрос: зачем это делать? Где и когда применять эти глубокие познания?

Отвечаю. Любой пример сам подсказывает необходимые действия. Если в примере смешались в кучу обыкновенные дроби, десятичные, да ещё и смешанные числа, переводим всё в обыкновенные дроби. Это всегда можно сделать . Ну а если написано, что-нибудь типа 0,8 + 0,3, то так и считаем, безо всякого перевода. Зачем нам лишняя работа? Мы выбираем тот путь решения, который удобен нам !

Если в задании сплошь десятичные дроби, но гм... злые какие-то, перейдите к обыкновенным, попробуйте! Глядишь, всё и наладится. Например, придется в квадрат возводить число 0,125. Не так-то просто, если от калькулятора не отвыкли! Мало того, что числа перемножать столбиком надо, так ещё думай, куда запятую вставить! В уме точно не получится! А если перейти к обыкновенной дроби?

0,125 = 125/1000. Сокращаем на 5 (это для начала). Получаем 25/200. Ещё раз на 5. Получаем 5/40. О, ещё сокращается! Снова на 5! Получаем 1/8. Легко возводим в квадрат (в уме!) и получаем 1/64. Всё!

Подведём итоги этого урока.

1. Дроби бывают трёх видов. Обыкновенные, десятичные и смешанные числа.

2. Десятичные дроби и смешанные числа всегда можно перевести в обыкновенные дроби. Обратный перевод не всегда возможен.

3. Выбор вида дробей для работы с заданием зависит от этого самого задания. При наличии разных видов дробей в одном задании, самое надёжное - перейти к обыкновенным дробям.

Теперь можно потренироваться. Для начала переведите эти десятичные дроби в обыкновенные:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Должны получиться вот такие ответы (в беспорядке!):

На этом и завершим. В этом уроке мы освежили в памяти ключевые моменты по дробям. Бывает, правда, что освежать особо нечего...) Если уж кто совсем крепко забыл, или ещё не освоил... Тем можно пройти в особый Раздел 555 . Там все основы подробненько расписаны. Многие вдруг всё понимать начинают. И решают дроби с лёту).