Признак даламбера сходимости знакоположительных рядов. Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

Если для положительного ряда существует предел вида
, то этот ряд сходится при
и расходится при
. При
признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда.

Замечание. Признак Даламбера используют в том случае, если формула общего члена ряда содержит множитель или является показательной функцией отn .

Пример 1.
.

Решение. На возможность применения признака Даламбера указывает наличие в формуле общего члена множителей и.

Здесь
. Для получения
заменим в формулевсеn на n +1. Получим
. Тогда

По признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
.

Решение. Здесь
,
. Применяем признак Даламбера:

Ряд расходится.

Исследовать на сходимость, пользуясь признаком Даламбера, следующие ряды:

а)
; б)
; в)
; г)
.

2.3.4. Радикальный признак Коши

Если для положительного ряда существует предел
, то приl <1 данный ряд сходится, а при l > 1 − расходится. При l =1 радикальный признак Коши, как и признак Даламбера, не дает ответа на вопрос о сходимости ряда.

На практике признак Коши применяется чаще всего, когда общий член ряда представляет собой показательную или показательно-степенную функцию от n .

Пример 1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Общий член ряда содержит выражение в степени n . Поэтому целесообразно воспользоваться радикальным признаком Коши:

Исследуемый ряд сходится.

Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
.

Решение. Вычислим предел

где
.

Для вычисления этого предела воспользуемся правилом Лопиталя, предварительно прологарифмировав полученное выражение:

Так как lnt =0, то t =1, и, следовательно,
.

Так как
, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.

Примеры для самостоятельного решения

Исследовать на сходимость при помощи радикального признака Коши следующие ряды:

а)
; б)
; в)
; г)
.

2.3.5. Интегральный признак Коши

Пусть общий член ряда представляет собой значение функции
при
, т.е.
. Если при этом функция
монотонно убывает в некотором промежутке
, где
, то данный ряд сходится, если сходится несобственный интеграл
, и расходится, если этот несобственный интеграл расходится. Из этой теоремы вытекает важное для практики следствие: для сходящегося ряда с общим членом, удовлетворяющим условиям теоремы, остаток ряда можно оценить из соотношения
.

Рассмотрим примеры применения интегрального признака Коши.

Пример. Исследовать на сходимость ряд
.

Решение. Так как
является значением функции
при
и эта функция непрерывна и монотонно убывает в промежутке
, то исследуем на сходимость несобственный интеграл

Интеграл расходится. Следовательно, расходится и данный ряд.

Примеры для самостоятельного решения.

Исследовать на сходимость при помощи интегрального признака Коши следующие ряды:

а)
; б)
; в)
; г)
.

2.4. Сходимость и расходимость знакопеременных рядов

Литература: , Ч. 3, гл. 15, § 15.4

Ряд с членами произвольных знаков называется знакопеременным. В дальнейшем будут рассматриваться ряды с бесконечным числом положительных и отрицательных членов.

Знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся , если сходится ряд, составленный из модулей его членов
.

Теорема об абсолютной сходимости ряда: если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда
, то данный знакопеременный рядтакже сходится (т.е. является абсолютно сходящимся).

Ряд называетсяусловно сходящимся , если он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов
, расходится.

Основные свойства абсолютно и условно сходящихся рядов:

1) абсолютно сходящийся ряд остается сходящимся и не меняет величины суммы при любой перестановке его членов;

2) изменяя порядок следования членов в условно сходящемся ряде, можно сделать сумму ряда равной любому наперед заданному числу или даже сделать ряд расходящимся;

3) если знакопеременный ряд сходится абсолютно, то сходятся ряды составленные только из его положительных или только отрицательных членов; если же ряд сходится условно, то упомянутые выше ряды сходятся.

Пример 1.

Решение. Ряд знакочередующийся, в связи с ростом знаменателя его членов последние убывают по абсолютной величине. Легко видеть, что предел общего члена ряда при n →∞ равен нулю:
. Значит, по признаку Лейбница данный знакочередующийся ряд сходится.

Рассмотрим теперь ряд, составленный из модулей его членов,

Это гармонический ряд, который, как известно, расходится. Следовательно, данный ряд − условно сходящийся.

Пример 2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

Решение. Данный ряд знакопеременный, так как
может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда:

Ввиду очевидного неравенства
по признаку сравнения для положительных рядов имеем, что ряд
сходится, т.к. сходится ряд
. Из сходимости ряда
по признаку абсолютной сходимости имеем, что ряд
сходится и притом абсолютно.

Признак сходимости Даламбера Радикальный признак сходимости Коши Интегральный признак сходимости Коши

Одним из распространенных признаков сравнения, который встречается в практических примерах, является признак Даламбера. Признаки Коши встречаются реже, но тоже весьма популярны. Как всегда, постараюсь изложить материал просто, доступно и понятно. Тема не самая сложная, и все задания в известной степени трафаретны.

Жан Лерон Даламбер – это знаменитый французский математик 18-го века. Вообще, Даламбер специализировался на дифференциальных уравнениях и на основании своих исследований занимался баллистикой, чтобы у Его Величества лучше летали пушечные ядра. Заодно и про числовые ряды не забыл, не зря потом шеренги наполеоновских войск так четко сходились и расходились.

Перед тем как сформулировать сам признак, рассмотрим важный вопрос:
Когда нужно применять признак сходимости Даламбера?

Сначала начнем с повторения. Вспомним случаи, когда нужно применять самый ходовойпредельный признак сравнения . Предельный признак сравнения применяется тогда, когда в общем члене ряда:
1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть под корнем.

Основные же предпосылки для применения признака Даламбера следующие:

1) В общий член ряда («начинку» ряда) входит какое-нибудь число в степени, например, , и так далее. Причем, совершенно не важно, где эта штуковина располагается, в числителе или в знаменателе – важно, что она там присутствует.

2) В общий член ряда входит факториал. С факториалами мы скрестили шпаги ещё на урокеЧисловая последовательность и её предел . Впрочем, не помешает снова раскинуть скатерть-самобранку:

…

…

! При использовании признака Даламбера нам как раз придется расписывать факториал подробно. Как и в предыдущем пункте, факториал может располагаться вверху или внизу дроби.

3) Если в общем члене ряда есть «цепочка множителей», например, . Этот случай встречается редко, но! При исследовании такого ряда часто допускают ошибку – см. Пример 6.

Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.

Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-тоиз рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.

Признак Даламбера : Рассмотрим положительный числовой ряд . Если существует предел отношения последующего члена к предыдущему: , то:
а) При ряд сходится . В частности, ряд сходится при .
б) При ряд расходится . В частности, ряд расходится при .
в) При признак не дает ответа . Нужно использовать другой признак. Чаще всего единица получается в том случае, когда признак Даламбера пытаются применить там, где нужно использовать предельный признак сравнения.

У кого до сих пор проблемы с пределами или недопонимание пределов, обратитесь к урокуПределы. Примеры решений . Без понимания предела и умения раскрывать неопределенность дальше, к сожалению, не продвинуться.

А сейчас долгожданные примеры.

Пример 1

Мы видим, что в общем члене ряда у нас есть , а это верная предпосылка того, что нужно использовать признак Даламбера. Сначала полное решение и образец оформления, комментарии ниже.

Используем признак Даламбера:

сходится.

(1) Составляем отношение следующего члена ряда к предыдущему: . Из условия мы видим, что общий член ряда . Для того, чтобы получить следующий член ряда необходимо вместо подставить : .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби. При определенном опыте решения этот шаг можно пропускать.
(3) В числителе раскрываем скобки. В знаменателе выносим четверку из степени.
(4) Сокращаем на . Константу выносим за знак предела. В числителе в скобках приводим подобные слагаемые.
(5) Неопределенность устраняется стандартным способом – делением числителя и знаменателя на «эн» в старшей степени.
(6) Почленно делим числители на знаменатели, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(7) Упрощаем ответ и делаем пометку, что с выводом о том, что, по признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

В рассмотренном примере в общем члене ряда у нас встретился многочлен 2-ой степени. Что делать, если там многочлен 3-ей, 4-ой или более высокой степени? Дело в том, что если дан многочлен более высокой степени, то возникнут трудности с раскрытием скобок. В этом случае можно применять «турбо»-метод решения.

Пример 2

Возьмём похожий ряд и исследуем его на сходимость

Сначала полное решение, потом комментарии:

Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится .

(1) Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: , чего делать совершенно не хочется. Кроме того, для тех, кто не знаком с биномом Ньютона, данная задача вообще может оказаться невыполнимой. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и – одного порядка роста . Таким образом, вполне можно обвести отношение простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста , и их отношение стремится к единице.

На самом деле, такую «халтуру» можно было провернуть и в Примере №1, но для многочлена 2-ой степени такое решение смотрится всё-таки как-то несолидно. Лично я поступаю так: если есть многочлен (или многочлены) первой или второй степени, я использую «длинный» способ решения Примера 1. Если попадается многочлен 3-ей и более высоких степеней, я использую «турбо»-метод по образцу Примера 2.

Пример 3

Исследовать ряд на сходимость

Полное решение и образец оформления в конце урока

Следующие два часто используемых достаточных признака сходимости рядов доказываются на основании сравнения исследуемого ряда с рядом геометрической прогрессии, исследованном в § 1, который (ряд) является

а) либо сходящимся

б) либо расходящимся при ½q½³1.

Ниже в формулировках и доказательствах теорем обратные утверждения и условия записываем в скобках сразу за соответствующими прямыми.

Теорема 2.4. Признак Даламбера. Если все члены положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, отличны от нуля an ¹ 0 и удовлетворяют неравенству:

(Dn ³ 1), "n ³ M, (2.6)

то ряд сходится (расходится).

Признак Даламбера в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие:

Доказательство. Докажем первое утверждение. Положим bn=qn (bn=1). Тогда справедливы неравенства:

с помощью которых, используя неравенства (2.6), получаем соотношения:

Отсюда, в силу сходимости (расходимости) ряда , на основании теоремы 2.3 получаем сходимость (расходимость) ряда .

Докажем второе утверждение. Из условия (6) и определения верхнего (нижнего) предела последовательности следует, что существуют число e > 0 и номер М такие, что выполняется неравенство

Dn < 1–e (Dn > 1) "n ³ M.

Очевидно, что число (1–e) играет роль числа q в первом утверждении данной теоремы, из которого следует сходимость (расходимость) исследуемого ряда, что и требовалось доказать.

При доказательстве данной теоремы мы пользовались признаком сравнения рядов в форме теоремы 2.3. При доказательстве следующего признака сходимости воспользуемся признаком сравнения рядов в форме теоремы 2.2.

Теорема 2.5. Радикальный признак Коши. Если для членов положительного числового ряда , начиная с некоторого номера М, выполняется неравенство

(Kn ³ 1), "n ³ M, (2.8)

то ряд сходится (расходится).

Радикальный признак Коши в предельной форме. Если для членов указанного выше ряда выполняется условие:

Доказательство. Докажем первое утверждение. Положим bn= qn (bn=1). Тогда из неравенства (7) получаем

an £ bn (an ³ bn),

и так как ряд сходится (расходится), то на основании теоремы 2.2 из полученного неравенства следует сходимость (расходимость) ряда .

Kn < 1–e (Kn > 1) "n ³ M.

Очевидно, что число (1 – e) играет роль числа q в первом утверждении данной теоремы, из которого следует сходимость (расходимость) исследуемого ряда, что и требовалось доказать.

Замечание 3. В непредельных формулировках теорем 2.4 и 2.5 неравенства

Dn £ q < 1 и Kn £ q < 1 "n Î N

нельзя заменять на неравенства

Dn < 1 и Kn < 1 "n Î N.

Действительно, гармонический ряд расходится (замечание 2), но для него

Замечание 4. Существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых выполняются соотношения

Например, эти неравенства выполняются для гармонического и обобщенного гармонического с показателем 2 рядов

Теорема 8. 5 . Если для знакоположительного ряда существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему при неограниченном возрастании их номеров, т. е. существует предел , то:

1) если r < 1, то ряд сходится; 2) если r > 1, то ряд расходится;

3) если r = 1, то данный признак не позволяет решить вопрос о сходимости ряда (ряд может как сходиться, так и расходиться).

Д о к а з а т е л ь с т в о.1. Пусть . Если r < 1, то всегда найдется число q , удовлетворяющее неравенству r < q < 1. В этом случае по определению предела существует такое число N, что если номер члена ряда n > N , то отношение меньше этого числа q , т.е. . Данное неравенство представим в следующем виде . Отношение является отношением последующего члена ряда к предыдущему для бесконечной убывающей геометрической прогрессии , которая сходится, так как знаменатель прогрессии меньше единицы (q < 1). В соответствии с теоремой 8.4 (третий признак сравнения рядов) ряд сходится.

2. Пусть . Тогда существует такое число q , которое больше единицы, но меньше r , т. е. . В этом случае существует такое число N, что если номер члена ряда n > N , то отношение больше q , т. е. . Тогда по теореме 8.4 ряд расходится.

Данный признак Даламбера является наиболее простым и часто применяемым. Однако он дает ответ на вопрос о сходимости ряда только в тех случаях, когда ряд достаточно быстро сходится или расходится.

Пример 8.7

Находим . Следовательно, ряд сходится.

Пример 8.8 . Исследовать сходимость ряда .

Ряд сходится.

Пример 8.9 . Исследовать сходимость ряда .

Найдем предел . При этом воспользуемся правилом Лопиталя.

Исследование сходимости рядов является важным с точки зрения их оценки и необходимым в случае вычисления суммы ряда. Признаков сходимости рядов несколько, популярный и достаточно прост в применении для рядов с положительными членами - признак сходимости Даламбера . Ниже будет разобран ряд примеров на установление сходимости ряда по признаку Даламбера, советую для себя взять максимум полезного.
Напомним что предпосылками для применения признака Даламбера служит наличие степенной зависимости (2, 3, a в степени n) или факториалов в формуле общего члена ряда. Будет это знаменатель или числитель дроби совсем не имеет значения, важно что имеем подобную зависимость, ну или факториал и степенную зависимость в одном наборе. С факториалами у многих на первых порах возникают проблемы но с практикой Вы заметете что ничего сложного в факториалах нет. Надо только расписать факториал подробно до тех пор когда в числителе или знаменателе дроби поучим одинаковые множителе. На словах это звучит не всем понятно, но следующие примеры помогут Вам в этом разобраться. Ну и самые сложные примеры предполагают наличие комбинаций факториалов и степенных зависимостей, два или более факториала, тоже и для степенной фунции, всевозможные цепочки множителей и другие каверзные комбинации. Ниже приведены базовые примеры с которых и начинается практика проверки сходимости ряда по Даламберу.

Пример: 2.5 Исследовать сходимость рядов
а)
Вычисления: Поскольку данный ряд имеет положительные члены то исследовать его на сходимость можем с помощью признака Даламбера:

Если А<1 ряд сходящийся, А>1 - ряд расходящийся и при A=0 следует использовать другие признаки сходимости рядов.
Записываем общий член ряда и следующий, идущий после него

И находим границу их доли

Поскольку граница бесконечна то по признаку Даламбера ряд расходящийся. Если искать суму ряда то она будет бесконечная.
б)
Вычисления: Члены ряда положительные поетому исследуем на сходимость по признаку Даламбера - записываем формулы последовательных членов ряда

И находим предел отношения следующего члена к предыдущему при n стремящемуся к бесконечности

Граница равна нулю так как показатель стремится к бесконечности, а в скобках имеем значение меньше единицы.
По теореме Даламбера A = 0 <1 ряд сходится!

Пример: 2.8 Исследовать ряды на сходимость:
а)
Вычисления: Как Вы уже убедились все примеры которые здесь рассматриваются следует проверять по признаку Даламбера.
В результате упрощения придем ко второму замечательному пределу - экспоненте

В общем граница меньше единицы следовательно ряд сходится.

Б)
Вычисления: Для проверки на сходимость ряда по признаку Даламбера вычисляем предел

Предел равен 0 (A = 0 <1) следовательно ряд сходится!

Пример: 2.14 Исследовать ряд на сходимость
а)

Вычисления: Находим предел следующего члена ряда к предыдущему

Для удобства чтения формул следующий член ряда выделенный в формулах черным цветом. Хорошо разберитесь как делить факториал на факториал, как показывает статистика множество неверных ответов Вы у Вас выходит в примерах с факториалами.
По признаку Даламбера ряд сходится.
б)
Вычисления: Записываем формулу общего члена ряда и последовавшего за ним

Подставляем их в формулу Даламбера и вычисляем предел

Граница равна нулю 0 <1 , а это значит что данный ряд сходящийся.

Пример: 2.16 Исследовать ряд на сходимость:
а)
Вычисления: По признаку Даламбера проверяем границу общего члена ряда на ограниченность

Превратив множители в числителе и знаменателе дроби сведем функцию в скобках ко второму замечательному пределу

Поскольку граница меньше единицы

то согласно теореме Даламбера ряд сходящийся.
б)
Вычисления: Задан числовой степенной ряд с положительными членами. Найдем предел отношения последующего члена ряда к предыдущему

При исчислении границы считаю все моменты Вам понятны, если нет то Вам нужно прочесть статьи с категории "предел функций".
Получили предел меньше единицы,

следовательно ряд сходится за Даламбером.

Пример: 2.26 Исследовать сходимость ряда:
а)
Вычисления: Для применения признака Даламбера выпишем общий член ряда и последующий за ним

Далее подставим их и найдем предел дроби

Предел равен A = 3/2> 1, а это значит что данный ряд расходящийся.

Б)
Вычисления: Записываем два последовательных члены положительного ряда

Находим границу для оценки сходимости ряда по теореме Даламбера.

В ходе вычислений получим второй замечательный предел (экспоненту) как в числителе, так и в знаменателе. Результирующая граница больше единицы , следовательно делаем вывод о расхождении ряда.